纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是有四种 比较松散的数据特征。它有某些节点(vertice),在某些节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也出現过,让我们 通常在节点中储存数据。边表示另俩个 节点之间的占据 关系。在树中,让我们 用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是有四种 特殊的图,但限制性更强某些。

原本的有四种 数据特征是很常见的。比如计算机网络,全都由某些节点(计算机事先路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也可不时需理解为图,地铁站可不时需认为是节点。基于图有某些经典的算法,比如求图中另俩个 节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥难题(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市包含一根绳子 河流过,河包含另俩个 小岛。有七座桥桥连接河的两岸和另俩个 小岛。送信员总想知道,有没有另俩个 法子 ,能不重复的走过7个桥呢?

(某些难题在某些奥数教材中称为"一笔画"难题)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的可不时需看作由7个边和另俩个 节点构成的另俩个 图:

某些难题最终被欧拉巧妙的处置。七桥难题也启发了一门新的数学是科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,事先某个节点有的是起点事先终点,没有连接它的边的数目时需为偶数个(从另俩个 桥进入,再从原本桥抛下)。对于柯尼斯堡的七桥,事先另俩个 节点都为奇数个桥,而最多必须有另俩个 节点为起点和终点,全都有不事先一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。另俩个 图的所有节点构成另俩个 集合[$V$]。另俩个 边可不时需表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即另俩个 节点。事先[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,没有图是有向的(directed)。有序的边可不时需理解为单行道,必须沿另俩个 方向行进。事先[$(v_1, v_2)$]无序,没有图是无向的(undirected)。无序的边可不时需理解成双向都可不时需行进的道路。另俩个 无序的边可不时需看作连接相同节点的另俩个 反向的有序边,全都否是向图可不时需理解为有向图的有四种 特殊具体情况。

(七桥难题中的图是无向的。城市中的公交线路可不时需是无向的,比如占据 单向环线)

图的另俩个 路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也全都说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为另俩个 节点。路径上方的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,让我们 会在选用某个路径,来从A站到达B站。原本的路径事先有不止一根绳子 ,让我们 往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤具体情况,来选用一根绳子 最佳的路线。事先占据 一根绳子 长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,没有认为该图中占据 环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中占据 环路。

 

找到一根绳子 环路

事先从每个节点,到任意另俩个 其它的节点,有的是一根绳子 路径一段话,没有图是连通的(connected)。对于另俩个 有向图来说,原本的连通称为强连通(strongly connected)。事先另俩个 有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,没有认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

事先将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,原本的图事先是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间没有路径相连。

图的实现

有四种 简单的实现图的法子 是使用二维数组。让数组a的每一行为另俩个 节点,该行的不同元素表示该节点与某些节点的连接关系。事先[$(u, v) \in E$],没有a[u][v]记为1,某些为0。比如下面的另俩个 包含另俩个 节点的图:

 

可不时需简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

某些实现法子 所占据 的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而迅速了 了 增多。事先边有的是很密集,没有全都有数组元素记为0,必须稀疏的某些数组元素记为1,全都有并有的是很经济。

更经济的实现法子 是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,让我们 建立另俩个 链表。对于任意节点k,事先有[$(m, k) \in E$],就将该节点倒进到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准法子 。比如下面的图,

 

可不时需用如下的数据特征实现:

 

左侧为另俩个 数组,每个数组元素代表另俩个 节点,且指向另俩个 链表。该链表包包含该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表可不时需分为两部分。邻接表所占据 的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组部分储存节点信息,占据 [$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,占据 [$|E|$]的空间,即边的总数。在某些繁复的难题中,定点和边还事先有某些的附加信息,让我们 可不时需将某些附加信息储占据 相应的节点事先边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

上方的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是有四种 很简单的数据特征。图的组织法子 比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法繁复度。我将在事先介绍某些图的经典算法。

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