机器学习中的度量——其他度量

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      机器学习是时下流行AI技术中原来很重要的方向,无论是有监督学习还是无监督学习都使用各种“度量”来得到不同样本数据的差异度为什么在么在让不同样本数据的类似度。良好的“度量”能不需要 显著提高算法的分类或预测的准确率,本文中将介绍机器学习中各种“度量”,“度量”主要由两种,分别为距离、类似度和相关系数,距离的研究主体一般是线性空间中点;而类似度研究主体是线性空间中向量;相关系数研究主体主什么都我分布数据。本文主要介绍或多或少度量。

      KL散度(Kullback–Leibler divergence)又称为相对熵(relative entropy)。KL散度是原来概率分布P和Q差别的非对称性的度量。 KL散度是用来 度量使用基于Q的编码来编码来自P的样本平均所需的额外的位元数。 典型情况报告下,P表示数据的真实分布,Q表示数据的理论分布,模型分布,或P的近似分布。

      对于离散随机变量,其概率分布P 和 Q的KL散度可按下式定义为

\[{D_{KL}}\left( {P\left\| Q \right.} \right){\rm{ = }} - \sum\limits_i {P\left( i \right)\ln \frac{{Q\left( i \right)}}{{P\left( i \right)}}}\]

      等价于

\[{D_{KL}}\left( {P\left\| Q \right.} \right){\rm{ = }} - \sum\limits_i {P\left( i \right)\ln \frac{{P\left( i \right)}}{{Q\left( i \right)}}}\]

      即按概率P求得的P和Q的对数商的平均值。KL散度仅当概率P和Q个人总和均为1,且对于任何i皆满Q(i)>0及P(i)>0时,才有定义。式中冒出0ln 0的情况报告,其值按0处里。

      对于连续随机变量,其概率分布P和Q可按积分办法定义为

\[{D_{KL}}\left( {P\left\| Q \right.} \right){\rm{ = }}\int_{ - \infty }^\infty {p\left( x \right)\ln \frac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}dx} \]

      其中p和q分别表示分布P和Q的密度。

      更一般的,若P和Q为集合X的概率测度,且P关于Q绝对连续,则从P到Q的KL散度定义为

\[{D_{KL}}\left( {P\left\| Q \right.} \right){\rm{ = }}\int_X {\ln \frac{{dP}}{{dQ}}dP} \]

      其中,假定右侧的表达形式占据 ,则dP/dP为Q关于P的R–N导数。

      相应的,若P关于Q绝对连续,则

\[{D_{KL}}\left( {P\left\| Q \right.} \right){\rm{ = }}\int_X {\ln \frac{{dP}}{{dQ}}dP} {\rm{ = }}\int_X {\ln \frac{{dP}}{{dQ}}\ln \frac{{dP}}{{dQ}}dQ} \]

      即为P关于Q的相对熵。

      在这里举原来实际例子来说明KL散度怎么才能 才能 计算的,假设P和Q是原来不同的分布。P是原来实验次数N=2且概率p为0.5 的二项分布。Q是原来各种取0,1或2的概率都为1/3的离散均匀分布。

P(x) 0.25 0.5 0.25
Q(x) 0.333 0.333 0.333

      什么都P关于Q的KL散度为

\[\begin{array}{l} {D_{KL}}\left( {P\left\| Q \right.} \right){\rm{ = }} - \sum\limits_i {P\left( i \right)\ln \frac{{P\left( i \right)}}{{Q\left( i \right)}}} \\ \quad \quad \quad \quad \; = 0.25\ln \frac{{0.25}}{{0.333}} + 0.5\ln \frac{{0.5}}{{0.333}} + 0.25\ln \frac{{0.25}}{{0.333}} \\ \quad \quad \quad \quad \; = 0.59892 \\ \end{array}\]

      同理可得Q关于P的KL散度

\[\begin{array}{l} {D_{KL}}\left( {Q\left\| P \right.} \right){\rm{ = }} - \sum\limits_i {Q\left( i \right)\ln \frac{{Q\left( i \right)}}{{P\left( i \right)}}} \\ \quad \quad \quad \quad \; = 0.333\ln \frac{{0.333}}{{0.25}} + 0.333\ln \frac{{0.333}}{{0.5}} + 0.333\ln \frac{{0.333}}{{0.25}} \\ \quad \quad \quad \quad \; = 0.0555 \\ \end{array}\]

      在NLP领域中,Word2Vec得到的词向量能不需要 反映词与词之间的语义差别,但在实际任务中朋友突然 遇到计算文档和文档之间类似度的什么的问题,除了采用词向量叠加生成文章向量的方案,朋友还有原来叫做词移距离(Word Mover's Distance)的方案来计算文档和文档之间的类似度。其中文档和文档之间距离定义为:

\[\sum\limits_{i,j = 1}^n {{T_{ij}}c\left( {i,j} \right)} \]

      其中c(i,j)为i ,j原来词所对应的词向量的欧氏距离, Tij为词语xi转移到词语xj的权值。原来 们怎么才能 才能 得到你这些 权值矩阵T呢?又为什么在么在让说你这些 加权矩阵T代表你这些 含义呢?你这些 加权矩阵T或多或少类似HMM中的情况报告转移矩阵,只不过其中的概率转换为权重了而已:



      这里有原来文档1和文档2,去除停用词后,每篇文档仅剩下原来词。文档1文档的词语集合为{Obama, speaks, media, Illinois},文档2的词语集合为{President greets press Chicago}。朋友什么都我要用这3个词来比较原来文档之间的类似度。在这里,朋友假设’Obama’你这些 词在文档1中的的权重为0.5(能不需要 简单地用词频为什么在么在让TFIDF进行计算),越来越为什么在么在让’Obama’和’president’的类似度很高,越来越朋友能不需要 给由’Obama’移动到’president’很高的权重,这里假设为0.4,文档2中或多或少的词为什么在么在让和’Obama’的距离比较远,什么都会分到更小的权重。这里的约束是,由文档1中的某个词i移动到文档2中的各个词的权重之和应该与文档1中的你这些 词i的权重相等,即’Obama’要把当事人的权重0.5分给文档2中的各个词。同样,文档2中的某个词j所接受到由文档1中的各个词所流入的权重之和应该等于词j在文档2中的权重。为什么在么在么要有原来 的操作呢?为什么在么在让词移距离代表的是文档1要转换为文档2所都要付出的总代价。将你这些 代价求得下界即最小化完后 ,即可求得所有文档a中单词转移到文档b中单词的最短总距离,代表原来文档之间的类似度。当然实际计算中权值矩阵T也都有随便而来的,词移距离对应原来优化我呢提,它是原来 计算的:



      其中c(i,j)词向量i和j的 Euclidean 距离,n是词的个数,d和d’分别是原来文档中各个词权重(概率或TF-IDF)组成的向量。