浅谈神经网络中的激活函数

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       激活函数是神经网络中有一一五个重要的环节,本文将介绍为这名神经网络网络要利用激活函数,几种常用的激活函数(逻辑函数Sigmoid、双曲正切函数tanh、线性整流函数(ReLU),神经网络中的梯度消失问提和ReLU怎样才能防止梯度消失。

       将会神经网络没有进行能只能提取非线性底部形态的卷积操作,或者该神经网络所以用激活函数,没有这名神经网络第i层输出只能Wxi+b。原先此神经网络不论有多少层,第i层的输出时会有一一五个关于第i层输入xi的线性组合,相当于此时多层神经网络退化为有一一五个多层的线性回归模型,难以学习如图像、音频、文本等僵化 数据的底部形态。

       正将会这名原应 ,神经网络要引入激活函数来给神经网络增加所以非线性的底部形态,所以目前常见的激活函数大多是非线性函数。原先神经网络中下一层得到的输入不再是线性组合了。

2.1 逻辑函数Sigmoid [1]

       逻辑函数(logistic function)或逻辑曲线(logistic curve)是有一种 常见的S函数,它是皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒在1844或1845年在研究它与人口增长的关系时命名的。

       有一一五个简单的Logistic函数表达式为:

\[ f\left( x \right) = \frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}} \]



图1 标准逻辑函数的图像

       逻辑函数形如S,所以通常也叫做S形函数。

       从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞], 值域是(0,1)

       对f(x)求导数,易得

\[f'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}}} \right)^\prime } = \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; = f\left( x \right)\left( {1 - f\left( x \right)} \right)\]

2.2 双曲正切函数tanh [2]

       双曲正切函数是双曲函数的有一种 。在数学中,双曲函数是一类与常见的三角函数类事的函数。双曲正切函数的定义为

\[f\left( x \right) = \tanh \left( x \right) = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\]



图2 双曲正切函数的图像(同逻辑函数类事)

       从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞], 值域是(-1,1)

       对f(x)求导数,易得

\[f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} \right)^\prime } = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; = 1 - f{\left( x \right)^2}\]

2.3 线性整流函数ReLU [3]

       线性整流函数(Rectified Linear Unit, ReLU),又称修正线性单元, 是有一种 人工神经网络中常用的激活函数,通常指代以斜坡函数及其变种为代表的非线性函数。

       通常意义下,线性整流函数指代数学中的斜坡函数,即

\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x\quad \quad x \ge 0 \\ 0\quad \quad x < 0 \\ \end{array} \right.\]



图3 ReLU函数图像

       从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞], 值域是[0, +∞)

       对f(x)求导数,易得

\[f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad \quad x \ge 0 \\ 0\quad \quad x < 0 \\ \end{array} \right.\]

       使用S形函数作为激活的神经网络中,随着神经网络的层数增加,神经网络上方层在梯度下降中求导的梯度几乎为0,从而原应 神经网络网络上方层的权值矩阵几乎无法更新。表现为随着隐藏层数目的增加,分类准确率反而下降了。这名问提叫做消失的梯度问提。

       假设神经网络只能三层,用S型函数作为激活函数

       第一层输入为x, 输出为S(W1x+b1)

       第二层输入为S(W1x+b1),输出为S(W2S(W1x+b1)+b2)

       第三层输入为S(W2S(W1x+b1)+b2),输出为S(W3S(W2S(W1x+b1)+b2)+b3)

       一并简记住每层在激活函数防止前的值为ai, 输出为fi

       假设最后损失函数为L,L是有一一五个关于f3的函数,没有求导易得

\[\begin{array}{l} \frac{{\partial L}}{{\partial {W_1}}} = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S\left( {{W_3}S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right) + {b_3}} \right)}}{{\partial {W_1}}} \\ \quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot \frac{{\partial {W_3}S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right) + {b_3}}}{{\partial {W_1}}} \\ \quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot {W_3} \cdot \frac{{\partial S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right)}}{{\partial {W_1}}} \\ \quad \quad = \cdots \\ \quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot {W_3} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_2}}} \cdot {W_2} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \cdot \frac{{\partial {a_1}}}{{\partial {W_1}}} \\ \end{array}\]

       其中偏导数∂S/ ∂ai是造成梯度消失的原应 ,将会S函数的导数阈值为

\[f'\left( x \right) = \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; \in \left( {0,\left. {\frac{1}{4}} \right]} \right.\]

       即有0<∂S/ ∂a1≤0.25, 0<∂S/ ∂a2≤0.25, 0<∂S/ ∂3≤0.25, 在损失函数偏导表达式中有一一五个偏导数相乘有:

\[0 < \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_2}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \le 0.015625\]

       原先会减小损失函数的数值,将会神经网络是20层,则有

\[0 < \frac{{\partial S}}{{\partial {a_{20}}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_{19}}}} \cdots \frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \le {0.25^{20}} = {\rm{9}}.0{\rm{94}} \times {10^{ - 13}}\]

       这是有一一五个更小的数,所以神经网络后几层求第一层参数W1的梯度就非常小。而ReLU函数所以为了防止梯度消失问提,将会ReLU求导只能有一一五个值1或0,原先一句话或者神经网络梯度中根小路径上的导数时会1,没有无论网络有多少层,网络后几层的梯度都能只能传播到网络前几层。

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Rectifier_(neural_networks)